% jpsm13fl.tex 物理学会2013秋 講演(2012/9/21)概要集原稿
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% 講演番号：21aSB-6
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% 2015/1/31 typo in mathematical expression was corrected before web upload
% 2013/7/12
% 2013/7/11 created by N. Tajima from scratch
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\begin{document}
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\pagestyle{empty}
\newcommand{\refer}{\ref}

\noindent
{\Large 21aSB-6}
\hspace*{10mm}
{\Large 高スピン間の回転行列の数値評価における著しい桁落の回避方法}

\vspace{2mm}

\noindent
\hspace*{16mm}
{\Large
福井大工
\hfill
田嶋直樹
}

\noindent
\hspace*{1mm}
{\Large
Avoidance of the serious loss of significance in numerical evaluations of the rotation matrix at high spins
}

\noindent
\hspace*{16mm}
{\Large
University of Fukui
\hfill
N.\ Tajima
}

\vspace{\baselineskip}

{\large
% \baselineskip=\baselineskipTaj
\baselineskip=0.710cm

オイラー角で指定された回転操作を表す演算子を角運動量の固有状態を基底として行列
表現したときの行列要素（WignerのD関数)は、例えば原子核構造論では変形核の平
均場解に対して角運動量射影を行う場合等、様々な局面で必要とされる。
例えば、私の最近の研究では文献[1]で使用した。
その値を与えるWignerの公式[2]、
%
\begin{eqnarray}
d^{j}_{mk}(\theta) & = & \sum_{n} (-1)^n t_n(j,m,k;\theta), \nonumber \\
t_n (j,m,k;\theta)& = &
\frac{\sqrt{(j+m)!(j-m)!(j+k)!(j-k)!}} {(j-m-n)!(j+k-n)!(n+m-k)!n!} 
\cdot {\textstyle \left(\cos\frac{\theta}{2}\right)}^{2j+k-m-2n}
\cdot {\textstyle \left(-\sin\frac{\theta}{2}\right)}^{m-k+2n},
\nonumber
\end{eqnarray}
%
は高角運動量状態間($j$が大きい場合）では著しい桁落ちが起きるた
め、多倍長変数を用いての計算が必要となる。
例えば、上式で$j$を整数、$\theta = \frac{\pi}{2}$, $m=k=0$とした場合には、
%
\begin{displaymath}
t_n\left(j,0,0;\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2^j} \left(\frac{j!}{(j-n)!n!}\right)^2,
\end{displaymath}
%
となり、$j$が偶数なら$n=\frac{j}{2}$で最大値
%
\begin{displaymath}
t_{j/2}\left(j,0,0;\frac{\pi}{2}\right)=
% \frac{1}{2^j} \frac{j!}{\left((j/2)!\right)^2}  % before correction
  \frac{1}{2^j} \left( \frac{j!}{(j/2)!}\right)^2  % after correction (2015/1/31)
\sim \sqrt{\frac{2}{\pi j}} 2^j
\end{displaymath}
%
をとる。
Wignerの公式は
この巨大な値をとりうる項$t_n$の差し引きとして絶対値が1以下である$d^{j}_{mk}(\theta)$を
表したものである。
この計算方法では $j \sim 54$ で仮数部53ビットの倍精度浮動小数点実数の精度は完全に失われ、
仮数部113ビットの四倍精度浮動小数点実数を用いても$j\sim 114$で精度はゼロとなることがわかる。

なお、Wignerの公式の導出の基となるような漸化式を直接用いても
同程度の桁落ちが起きることが文献[3]から読み取れる。

本講演ではこの桁落について詳しく調べ、
更に、通常の倍精度実数で計算が可能な、桁落が起きない新しい計算方法を提示する。

\vspace*{5mm}
[1] N. Tajima, 2013 J. Phys.: Conf. Ser. 445 012014; doi:10.1088/1742-6596/445/1/012014

[2] M.E. Rose, {\em Elementary Theory of Angular Momentum}, 1957.

[3] H. Dachsel, J. Chem. Phys., {\bf 124}, 144115 (2006)
% Fast and accurate determination of the Wigner rotation matrices in the fast multipole method


} % large
\end{document}