昭和６３年度共同利用計算費使用報告書
研究テーマ 奇Ｚ核回転帯での中性子対の回転整列の効果
使用責任者 田嶋 直樹 （ 東大 教養 ）
共同研究者 大西 直毅
ａ）abstract
The effects of the rotation-alignment of a pair of
neutrons on the signature splitting of the energy levels
in 157Ho are investigated in the framework of a
proton-neutron-triaxial-rotor model. We included
many-quasi-particle configurations and highly-excited γ-
bands in our model space. We confirmed that the employed
model space is large enough that the calculated signs of
the signature splittings are reliable. Some earlier
results obtained by other authors are verified in our
larger- model-space calculations. It is shown that the
effects of the coupling with highly excited γ-bands (K
≧4) are not negligible. When we include only the lowest
(K=2) γ-band and assume the reversed (compared to the
irrotational flow model) γ-dependence of the moment of
inertia, the signature dependence is inverted in the
spin region just after the first backbending. But when
we include higher-lying γ-bands, we find that the
normal signature splitting is recovered for all spin
values.
ｂ）計算により得られた結果と物理的内容の説明
§１．序
最近、Ｈｏ、Ｔｍなどの奇陽子数の核の回転帯のエネルギー準位が、第一後
方歪曲をはるかに超えるスピンまで観測されるようになってきたが、その指標
（signature ）依存性が第一後方歪曲後、ほとんど消滅し、むしろわずかに逆
転している例（指標逆転現象）が、157Ｈｏをはじめ[1]、いくつかの核に発見
された。これらのバンドでは、対を組まない最後の１陽子が intruder 軌道
h11/2 に入っている。核全体の角運動量を I とし、 j=11/2 とすると、I-j
の偶奇性が指標と１対１に対応する。I-j が偶数のバンドを f-バンド、奇数
のバンドを u-バンドといい、通常は、前者のほうが後者よりエネルギーが低
い。このようなエネルギー準位の指標逆転現象は、核が回転軸方向に押しつぶ
されるような“positive-γ”変形（Lund 表記 による）のもとで起こると予
想されている[2,3,4]。回転整列した中性子対は、このような形に芯を偏極さ
せる効果を持つ。しかし、“positive-γ”変形では軸対称変形のときより核
の回転の慣性モーメントが（通常仮定される渦なし流体模型では）減少し、回
転エネルギーの点で不利になってしまう。従って、指標逆転現象とγ自由度と
の関係を明らかにするには、この二つの効果（回転整列による偏極効果と慣性
能率のγ依存性）の差引の定量的な評価をする必要がある。
近年、E2 遷移等の他の物理量の指標依存性についても、精力的に実験がな
され、盛んに議論がなされてきたことの目的は、γ変形の証拠をつかむことに
あった。このことを考えると、指標逆転現象の定量的検討は重要な意義を持つ
と言えよう。
以前、浜本は、芯の偏極を媒介としない、陽子・中性子間の直接の
Ｑπ・Ｑν引力による指標逆転の可能性を調べ、否定的な結果を得た[5]。
また最近、池田と島野は、粒子・回転子模型を、
（0＋2）中性子準粒子状態× 1陽子準粒子状態×（K=01+K=21）芯状態 (1)
○ ○
の空間で解き、157Ｈｏのエネルギー準位を計算した[6]。彼らは、実験で観測
された指標逆転現象の再現は、慣性能率のγ依存性が渦なし流体模型の場合で
は不可能だが、逆転させた（1軸のまわりの慣性能率と2軸のまわりのそれを取
り替える）γ依存性を仮定すれば可能だと結論した。これは、エネルギー準位
の指標依存性から、慣性能率のγ依存性についての知見が得られることを意味
しており、興味深い結果である。
しかし池田・島野の計算では、考慮した状態空間が十分に広いかどうかの確
認がなされていない。我々は、今回補助された計算費を使って、粒子・回転子
模型の状態空間を広げ、高励起γバンドの影響や、多準粒子配位の効果を調べ
た。
また、我々は、浜本や池田・島野の用いた「（核変形に固定された）内部座
標系で記述された粒子・回転子模型」ではなく、「実験室系で記述された粒子・
回転子模型」を用いた。両模型は、粒子状態の基底の取り方が大きく異なり、
両者の計算結果の比較は、模型の正当性の確認にもなるであろう。
§２．理論的枠組み
高スピン状態を取り扱う理論的枠組として、最も広く用いられているものは、
回転運動を固定軸のまわりの一定角速度の古典力学的回転として近似する
Cranking 模型である。これは靜的一体場模型であり、高スピン現象の理解に
当たって基本的な枠組みを提供する。（“positive γ”、“negative γ”と
いう区別自体も、回転軸を固定して考える Cranking 模型に固有の概念である。）
しかし、指標逆転現象の起こるバンド交差領域付近では、スピンの異なる状態
間の spurious な混合が大きくなり、Cranking 模型の適用はためらわれる。
さらに、第１backbending 付近では、回転整列によって集団的回転の角速度が
減少し、回転の方向が揺らぎやすくなるため、Cranking 模型的な固定軸のま
わりの回転という描像が良く成り立つかどうか疑問である。またその結果、固
定した回転軸を前提としたγ変形の符号の区別自体があいまいになる。従って、
我々は、Cranking模型でなく、回転運動を量子力学的に扱う粒子・回転子模型
を採用することにした。
我々のモデルは、高スピンで独立粒子自由度として重要な侵入軌道の陽子
（π）、中性子（ν）については、各々 h11/2 及び i13/2 軌道の（球対称な）
single-j 殻模型で微視的に扱い、その他の軌道にある核子については、集団
運動のみを行うと仮定して、なんらかの集団模型（芯（ｃ）と呼ぶ）で置き換
えるものである[7,8]。Hamiltonian は次のように書ける。
H = Hπ + Hν + Hｃ + Hπν + Hπｃ + Hνｃ (2)
この模型の特徴としては、固有座標系ではなく、実験室系で記述されている
ために、核変形自由度（β、γ）の動的取り扱いが簡単であり、今後、その効
果を調べるときに便利なことである。一方、この模型では、粒子状態を表す基
底は球対称なものを用いるので、（Nilsson 基底を使う「固有座標系で記述さ
れた粒子・回転子模型」と比較して）状態数が巨大になりがちだという短所が
ある。
芯部分については、いずれは、γ変形に対して柔らかいポテンシャルを持っ
たγ振動模型を用いる予定であるが、今回は、（扱いの易しい）軸対称および
非軸対称な剛体回転子を用いた。これは、芯がγ-soft な場合、粒子との結合
による芯の状態の混合が非常に強く、取り入れるべき状態空間がきわめて巨大
になるためである。一方、変形が固い場合は、芯の励起状態が少なく、考慮す
べき状態空間も比較的小さくて済む。そこで研究の第一段階として、まず、固
く変形した芯の模型を用いることにした。
γの値は、隣接する偶々核の最低励起γ-band の band head のエネルギー
を再現するように 15 °に決めた。ただし、同じγ励起エネルギーを与えても、
γ振動模型では非軸対称回転子模型のときよりも Δν＝±２ 四重極遷移が強
くなる。従って、このγの値は157Ｈｏには若干小さいかも知れない。
§３．状態空間の切断方法
以前、我々は、182Ｏｓ核の高スピン・アイソマー状態に於ける中性子・陽
子間相互作用の効果を見るために、同じ模型を用いて計算を行った[7]。その
ときの状態空間の切断方法は、まず［中性子×陽子］系を対角化した後、その
○
固有状態から各スピンに付き yrast 付近の数個の状態を選び出して、これら
と芯とを結合させるというものであった（図1.A）。この方法は、異種核子間
の相互作用のほうが、芯と個々の核子との相互作用（主に変形した一体ポテン
シャルの効果）よりも強い場合に適していると思われる。
今回の計算は、粒子を probe として芯の変形を調べることが目的であるから、
粒子・芯間の（ニルソン核構造に相当する）相関を
、より正確に取り入れる必要がある。従って、芯の �穐がががががが�
一体場と粒子との結合を最重視した、以下に述べる �Μ穐が巻穐が巻Μ穐が�
ような別種の切断方法を採用した（図1.B）。 �ΜΖ亂征筈揖Μ征硲祠�
�Μ謙が蒔謙が蒔Μ謙が�
１： Hν + Hｃ + Hνｃ を［i13/2 軌道に偶 �謙がががががが�
数個の中性子の入った全配位］×［芯（Davydov 模 （A-scheme）
○
型）の状態］という状態空間で対角化する。中性子
・芯間の相互作用 Hνｃ には、Ｑ・Ｑ相互作用と �穐がががががが�
Cooper 対交換相互作用を仮定する。i13/2 中性子 �穐が巻Μ穐が巻穐が巻�
同士の相互作用にはデルタ相互作用を仮定する。 �Ζ亂征八Ζ揖征硲祠Μ�
�謙が蒔Μ謙が蒔謙が蒔�
２：ステップ１の解として得られた［中性子× �謙がががががが�
○
芯］系（以降、「νi13/2 を含む芯」と呼ぶ）の固 （B-scheme）
有状態のうち、低エネルギーの状態を選び出し、残
りの状態は切り捨てる。今回は、24 以下の各スピ 図１．結合形式
ンについて、yrast から一定数 n 個（n=1,2,4,8,20）の状態をとった。
３：全 hamiltonian H を［ h11/2 軌道に奇数個の陽子の入った全配位］×
○
［νi13/2を含む芯の低エネルギー状態］の空間で対角化する。h11/2 陽子間
にはデルタ相互作用を仮定する。陽子・中性間の相互作用をＱπ・Ｑν相互作
用に限定することで、対角化にはステップ１と同じ計算機コードを利用するこ
とが出来る。Ｑπ・Ｑν力の強さは、大西・Negele の殻模型有効相互作用[9]
の該当部分を用いた。
§４．計算結果
図２に「芯（γ＝±15°,0°）×i13/2中性子」系のエネルギー準位を、各スピ
○
ンにつき yrast から20 本まで示した。計算に用いたパラメータには、157Ｈ
ｏに適切なもの使った。スピン 12 で、中性子対の回転整列による yrast
band の backbending が起こっている。yrast より上には、多数の準粒子励
起状態が存在している。非軸対称芯を用いた場合には、その他に、K≧2 のγ
バンドも含まれている。
図３に、この「νi13/2を含む芯」と h11/2 陽子とを結合させた結果のイラ
スト・スペクトルを、指標量子数依存性を強調するために、
（ EI - EI-1 ）／ 2I (3)
の形で示した。これらの図には、状態空間の大きさの異なる５通りの計算結果
（n=1,2,4,8,20）が描かれている。ここで n は「νi13/2を含む芯」の状態を
yrast から何個取り入れたかを表す。（ただし、n=1,2 では奇スピン状態数は
n-1 個しか取り入れていない。）これらの n についての収束状況から、n=20
の状態空間での計算から十分に指標逆転現象の有無を判定できると思われる。
指標に関するエネルギーの分裂（指標分裂）は、γ= 0°の場合、スピンと
共に正常の符号で大きくなる（この分裂はコリオリ混合に起因するためにスピ
ンとともに増大する）。やがて I=12 付近で、中性子対の回転整列による集団
的回転の角速度の減少のため、指標分裂はほとんど消滅する。回転整列中性子
と陽子の間の相互作用が、（“positive γ”変形したポテンシャルと同じ効
果をもつため）u-band 状態を優遇すると考えられるが、この計算結果から、
指標分裂の符号を逆転させるほどには、その効果は強くないことがわかる[5]。
指標逆転現象の第２の要因として、芯のγ変形を考えよう。まず、慣性能率
のγ依存性を通常の形（渦なし流体模型）にとると（Lund 表記で γ=-15°）、
正常指標分裂が増大し、backbending 直後でさえも、弱い正常指標分裂が残っ
ている。即ち、回転整列中性子対による芯の偏極効果は非軸対称芯のγの符号
を逆転させるほど強くないことが結論される[6]。
そこで、慣性能率のγ依存性を逆転させてみた（γ=+15゜）。その結果、全
体として、正常指標分裂は減少し、状態空間の狭い（n の小さい）場合、回転
整列直後には、まさに指標逆転現象が起こっている。これは、池田・島野の最
低励起γバンドを取り入れた計算結果[6]と一致している。（彼らの結果が、
γ振動模型の非軸対称模型に対する優位を示すものではないこともわかる。γ
振動模型は、γをある非零の値に固定した Davydov らの非軸対称回転子模型
で良く近似できることが知られている。両者の違いは主として２重γバンド以
上の高励起状態にあらわれる。）しかし、状態空間を拡大して行くと（n を大
きくして行くと）、再び正常な指標分裂に戻ってしまうことがわかる。これは、
高励起γバンドとの結合により、（芯の回転自由度の増加を通じて）、芯の
“positive γ”回転が壊されたのだと考えられる。従って、指標逆転現象と
「γ変形の符号」や「慣性能率のγ依存性」との関係を議論するときには、高
励起γバンドの影響を無視することができないと言える。
ただし、今回の計算は、試みたパラメーター・セットの種類が少なく、予備
的な性格を持つものである。γの値がもっと大きいときや、振動的な高励起γ
状態の場合にどの様な結果が得られるかは、残された課題である。従って、明
確な結論を下すには、さらに計算を進める必要がある。
§５．結論
まとめると、157Ｈｏに見られる第１backbending 直後のエネルギー準位の
指標逆転現象の粒子・回転子模型による再現は、
１）通常の強さの陽子・中性子間相互作用では不可能である。
２）慣性能率のγ依存性を渦なし流体模型のものにとると不可能である。ただ
し、γ自由度を、Davydov 模型を使って靜的に導入した場合のみを調べた。
３）慣性能率のγ依存性を逆転させた場合、K≦2 のγバンドまでしか考慮し
ないときには、池田・島野の結果と同様に指標逆転現象が起こるが、K≧4 の
γバンドを取り入れると、再び、正常指標依存性に戻ってしまう。ただし、γ
=15°のときのみ計算した。
今回の計算に当たっては、当初、γ振動模型を用いる予定であったが、高励
起γ振動状態の切断に関する結果の収束の悪さのため、さしあたって、固く変
形した非軸対称回転子模型を用いた。今後、γ振動模型を用いた計算を可能に
し、高励起γバンドが、Davydov 模型的なものである場合と、γ振動模型的な
ものである場合とで、指標分裂にどのような違いがあるかを調べたい。
なお、計算費の一部は、K アイソマーの崩壊とγ自由度との関係を調べるた
めに使用された。
［非軸対称回転子×i13/2中性子系］模型や［γ振動模型×i13/2 中性子系］
○ ○
模型を使って、184Ｏｓ等の K=10 isomer の構造を詳しく検討したが、その結
果は文献[10,11]に述べられている。このときの経験が、今回の奇Ｚ核の計算
に役立てられた。
ｃ）数値計算技術について
我々は、この模型を数値的対角化によって解いた。巨大次元であるが、現在
の計算機なら何とか手に負える計算量である。東大大型計算機センターのベク
トル・プロセッサ s-820 を使うと、5 万次元、非零行列要素数 5000 万の対
角化が（次に述べるランチョス法を用い、反復を 100 回として）１分弱で可
能である。（これ以上の次元への拡大に対する主な障害は記憶容量である。）
対角化に用いたランチョス法[12]とは、エネルギー・スペクトルの両端にあ
る何本かの固有値とその状態ベクトルを求めるのに適した方法である。この方
法では、行列を変換せずに、ただ、ベクトルに掛けるためだけに用いる。（お
おまかに言えば、１個の初期ベクトルを用意し、これに行列を掛ける操作を繰
り返すことによって新たな基底ベクトル列をつくる。この新基底はすみやかに
スペクトルの両端付近の状態を尽くす。）そこで、非零行列要素のみを記憶し
ておけばよい。一方、ハウスホールダー法の様に、行列を変換する方法では、
最初零であった行列要素も変換の途中で非零になりうるため記憶領域を確保し
ておかなければならない。従って、疎行列（非零行列要素の数が少ない行列）
の対角化に（記憶領域の節約、計算時間の短縮の点から）特に適しているとい
える。行列とベクトルとの掛け算に当たっては、対角化すべき行列の特徴（疎
で非零行列要素がブロックになっている）を考慮して、行列要素の行と列を指
定する方法に工夫をした。
ランチョス法によって産み出される新基底ベクトルは、理論上はそれ以前に
得られたベクトル（直前および2個前のものを除く）と直交しているはずだが、
実際には数値誤差のため、数十個めで直交性が大きく破れてしまう。これを回
避する方法のひとつとして、新しいベクトルをそれまでに得られた基底ベクト
ル群と再直交化することにした[12]。このとき、直交化の精度を上げるには、
非直交性の大きいベクトルから順に直交化の対象にしていく等の配慮が必要で
ある。
ｄ）計算に使用された主なサブルーチン名とその機能の説明
SJFILE：single-j 配位を扱うのに便利な諸量（c.f.p.、n→(n-2) c.f.p.、一体演算子の行列要素など）を計算する。
PNSYS1：任意に与えられた殻模型相互作用を用いて single-j 配位の固有状態を求め、「粒子系のファイル」に書き出す。two-j 配位（陽子、中性子が各々ひとつの j 軌道を専有する場合）に付いても計算が可能だが、今回の計算では single-j 計算しか行なわない。
TRIAX ：非軸対称回転子（Davydov model）の固有状態のエネルギー、波動関数、固有状態間の E2 遷移換算行列要素（４重極変形パラメータα2の換算行列要素）を計算し「芯のファイル」に書き出す。
RDYBR ：γ-unstable Bohr 模型（Wilet-Jean model）の固有状態をもとめ、その波動関数やいくつかの演算子の行列要素を計算する。
CORSTT：RDYBR の結果を利用して、γ-soft Bohr model の固有状態を計算し、そのエネルギー、波動関数（γについては、mesh 上の値に変換して表示する）、E2 行列要素をもとめて、「芯のファイル」に書き出す。
PRTROT：「芯のファイル」と「粒子系のファイル」から、芯および粒子系の情報を読みだし、標準入力から読み込まれた Model parameters （相互作用の結合定数など）を使って、「芯×粒子系」の固有状態を求め、エネル
○
ギー、波動関数を出力する。今回の計算では、ここで求めた状態「芯×
○
粒子系（i13/2 中性子）」を、新たに「芯」と考え、再び PRTROT 入力として用いる。
EMTRNS：PRTROT で求めた「芯×粒子系」の固有状態と、TRIAX や CORSTT で求め
○
た芯の E2 遷移振幅、PNSYS1 で算出された粒子系の E2、M1 遷移振幅を使って、「芯×粒子系」の固有状態間の E2、M1 遷移振幅を求める。
○
MAINWF：「芯×粒子系」の固有状態の性質（諸量子数の分布や期待値）を、「芯
○
のファイル」や「粒子系のファイル」を参照しつつ、求める。
ブロック・ダイアグラム 【一太郎ファイルの罫線部分が消失してしまった】
νi13/2系 Davydov model Bohr model πh11/2系
�穐ががが� �穐ががが� �穐がががが� �穐がががが�
��SJFILE�� ��TRIAX �� �� RDYBR �� �� SJFILE ��
�謙が亂が� �謙が亂が� �謙が亂がが� �謙が亂がが�
�穐が悴が� �� �穐が悴がが� �穐が悴がが�
��PNSYS1�� �� �� CORSTT �� �� PNSYS1 ��
�謙が亂が� �� �謙が亂がが� �謙が亂がが�
�� �穐ががが� �� �� ��
�謙が�PRTROT�征が悴ががががががが� ��
�穐ががが巻謙亂亂が� ��
��MAINWF�征が蒔� ��
�謙ががが蒔穐が悴が� ��
��EMTRNS�� ��
�謙が亂が� �穐ががが� ��
�謙がががががが�PRTROT�征ががががががが�
�穐ががが巻謙亂亂が�
��MAINWF�征が蒔�
�謙ががが蒔穐が悴が�
��EMTRNS��
�謙ががが�
参考文献
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